هذه هى المجموعة الرئيسية {0 ، 8 ، س ، ص}
الآن جميع الأرقام هى من 0 الى 9 = 10 أرقام
نستثنى منها 0 ، 8 فيتبقى 8 أرقام ....
س تكتب بـ 8 طرق ، ص تكتب بسبع طرق نظراً لأننا
نستثنى منها قيمة س
المجموعة السابقة يمكن توليد تبديلات منها عددها 4! = 24
ولكن نريد ان نحذف منها المجموعات التى يكون
الصفر على يسارها لأن الصفر على يسار العدد
ليس له قيمة، وهذه المجموعات الإستثنائية تكون
تعتمد على عدد تبديلات المجموعة {8 ، س ، ص}
وعدد تبيدلاتها معروف وهو 3! = 6
وبناء عليه يصبح عدد المجموعات الناشئة من
التبديل هى 24 - 6 = 18 مجموعة ممكنة .
نلاحظ أيضاً أنه لا فرق مثلاً بين المجموعة {0 ، 8 ، س ، ص}
وبين المجموعة {0 ، 8 ، ص ، س} وهذا لأننا نتعامل مع متغيرات
، فمثلاً اذا كانت س = 1 ، ص = 2 فإننا نضمن من
نفس المجموعة وجود س = 2 ، ص = 1 لأننا نتعامل مع متغيرات
وليس ثوابت تأخذ قيماً محددة، ولهذا نقسم العدد 18 على 2
فتكون جميع المجموعات الممكنة = 9
ونظراً لأن س تكتب بـ 8 طرق ، ص تكتب بـ 7 طرق
اذاً كل مجموعة من الـ 18 مجموعة تكتب بـ 8 × 7 = 56 طريقة .
اذاً عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504 عدد
====================================
ولمراعاة المزيد من الدقة، نكتب جميع التبديلات
الناشئة من المجموعة {0 ، 8 ، س ، ص}
{0 ، 8 ، س ، ص} , {0 ، 8 ، ص ، س}
{0 ، س ، 8 ، ص} , {0 ، س ، ص ، 8}
{0 ، ص ، 8 ، س} , {0 ، ص ، س ، 8}
{8 ، 0 ، س ، ص} , {8 ، 0 ، ص ، س}
{8 ، س ، 0 ، ص} , {8 ، س ، ص ، 0}
{8 ، ص ، 0 ، س} , {8 ، ص ، س ، 0}
{س ، 0 ، 8 ، ص} , {س ، 0 ، ص ، 8}
{س ، 8 ، 0 ، ص} , {س ، 8 ، ص ، 0}
{س ، ص ، 0 ، 8} , {س ، ص ، 8 ، 0}
{ص ، 0 ، 8 ، س} , {ص ، 0 ، س ، 8}
{ص ، 8 ، س ، 0} , {ص ، 8 ، 0 ، س}
{ص ، س ، 0 ، 8} , {ص ، س ، 8 ، 0}
لاحظ عددهم = 4! = 24 ولكن عدد المجموعات
التى الصفر آخر عنصر فيها من اليسار تكون عدد
مكون من 3 خانات لأن الصفر على يسار العدد
ليس له قيمة، ونحن لا نريد ذلك .
وعدد هذه المجموعات الإستثنائية = 3! = 6
أو حتى يمكنك عدهم مباشرة ً بشكل تقليدى .
بقسمة هذا العدد على 2 كما قُلنا ...
اذاً عدد المجموعات الممكنة = (24 - 6 )/2 = 9 مجموعات
ولكن نظراً لأننا نريد عدد مكون من اربعة أرقام مختلفة
يكون فيها دائماً الـ 0 ، 8 فإن كلاً من س ، ص يجب ان
تكون أرقام مختلفة ايضاً، ولما كانت جميع الأرقام من
صفر الى 9 عددها 10 فنطرح منها 0 ، 8 فيتبقى 8
أعداد (تأخذها إحتمالات س الممكنة) فتصبح ص
ذو 7 إحتمالات ممكنة .
الخلاصة :
س تكتب بـ 8 طرق ممكنة .
ص تكتب بـ 7 طرق ممكنة .
اذاً : كل مجموعة تكتب بـ 8 × 7 = 56 طريقة ممكنة .
اذاً : عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504
============================
الآن بعدما فهمنا ما حدث نريد ان نحل السؤال فى بضعة أسطر ...
المجموعة الرئيسية هى {0 ، 8 ، س ، ص} ، عدد طرق س = 8 ، عدد طرق ص = 7
اذاً عدد طرق (س×ص) = 8 × 7 = 56 ، بقى لنا أن نوجد كم مجموعة يمكن إنشائها ؟
الإجابة هنا تتعلق بعدد تبديلات 0 ، 8 والناتج هو 4 ل 2 = 12 (4 تباديل 2 = 12)
ولكن لا نريد المجموعات التى آخر عنصر فيها صفراً ، لنرى كما عددها ...
{س ، ص ، 8 ، 0} , {س ، 8 ، ص ، 0} , {8 ، س ، ص ، 0} أى ان عددها 3
ليكون بذلك عدد المجموعات الممكنة = 12 - 3 = 9 مجموعات .
وبناء عليه عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504 عدد ممكنة .
============================
• تعليقات إضافية على ضرب المجموعات وبعض خصائصها •
ان ضرب مجموعة فى نفسها تضمن لنا وجود (س،ص) ، (ص،س)
مثال :
س = {1 , 2 , 3}
ص = {1 , 2 , 3}
س×ص = ص×س = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (1 , 3) ، (2 , 1) ، (2 , 2) ، (2 , 3) ،
(3 , 1) ، (3 , 2) ، (3 , 3)}
فمثلاً وجود العنصر (1 ، 2) يضمن لنا وجود (2 ، 1) لمجرد اننا ضربنا
مجموعة فى نفسها، واذا حذفنا العناصر (س،س) منها يتبقى لنا
عدد عناصر وقدره 2 × 3 = 6
العناصر المكررة هى (1 ، 1) ، (2 ، 2) ، (3 ، 3)
وهذه خاصية هامة جداً عند ضرب مجموعة فى نفسها ...
معلومة أخرى :
اذا كانت س = ص فإن س ⊆ ص ، ص ⊆ س ، س×ص = ص×س
، س ∩ ص = ص ∩ س = س = ص
النقطة الثانية : اذا كان س ∩ ص = ع
فإن : (س×ص) ∩ (ص×س) = ع²
مثال :
س = {1 , 2 , 3 , 4}
ص = {1 , 2}
س×ص = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (2 , 1) ، (2 , 2) ، (3 , 1) ، (3 , 2)
، (4 , 1) ، (4 , 2)}
ص×س = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (1 , 3) ، (1 , 4) ، (2 , 1) ، (2 , 2
، (2 , 3) ، (2 , 4)}
لاحظ : س ∩ ص = {1 , 2}
(س×ص) ∩ (ص×س) = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (2 , 1) ، (2 , 2)}
وهذه خاصية أيضاً مهمة جداً عند إجراء ضرب المجموعات ...