النابض الحلزوني البسيط
يتكون نظام النابض الحلزوني البسيط من كتلة متصلة بالطرف السفلي لنابض حلزوني معلق رأسياً من مكان مرتفع ويكون النظام في موضع الاتزان عندما يكون في حالة السكون ، تبدأ الكتلة الحركة بازاحتها من موضع اتزانها باعطائها سرعة ابتدائية أو تعريضها لقوة خارجية F(t) .تكون قوة رد الفعل للنابض مساوية وبعكس الاتجاه لمحصلة القوى المؤثرة على النابض وتتناسب طردياً مع الاستطالة ( الانكماش ) x للنابض أي ان F_k=-kx حيث k هو ثابت التناسب ، نختار الاتجاه الرأسي الى اسفل هو الاتجاه الموجب ونقطة الاصل هي مركز ثقل الكتلة في موضع الاتزان وسنهمل كتلة النابض وان مقاومة الهواء تتناسب مع سرعة الكتلة
وبالتالي ستكون لدينا ثلاث قوى تؤثر على النظام عند اي لحظة t .
(1) القوة خارجية F(t) وهي في الاتجاه الموجب .
(2) قوة رد فعل النابض ( قوة الاسترداد ) F_k=-kx
(3) قوة مقاومة الهواء
وباستعمال قانون نيوتن الثاني للحركة والذي ينص على ان (محصلة القوى المؤثرة على جسم تساوي المعدل الزمني لتغير كمية الحركة مضروباً بالكتلة الثابتة ) أي ان
F=M dv/dt=M (d^2 x)/(dt^2 )=-a dx/dt-kx+F(t)
وبالقسمة على M والترتيب نحصل على :
?(?(?( (d^2 x)/(dt^2 )+a/M dx/dt+k/M x=F(t)/M @ )))
مثال (3) علقت كتلة 2 kg في نابض حلزوني ثابت تناسبه k=10 N/m وبعد ان اصبح في حالة السكون وضع بحركة بإعطائه سرعة ابتدائية مقدارها 150 cm/sec? جد موضع الكتلة في أي لحظة بفرض عدم مقاومة الهواء.
الحل :هنا مقاومة الهواء معدومة ولا توجد قوة خارجية مؤثرة على الكتلة F(t)=0
(d^2 x)/(dt^2 )+a/M dx/dt+k/M x=F(t)/M
(d^2 x)/(dt^2 )+10/2 x=0 ? (d^2 x)/(dt^2 )+5x=0
m^2+5=0 ? m=??5 i
? x(t)=A sin??5 t+B cos??5 t
لدينا الشرط الابتدائي الاول x(0)=0 نحصل منه على B=0
و الشرط الابتدائي الثاني v_0=150 cm/sec?= 1.5 m/sec?
v(t)=dx/dt=A?5 cos??5 t-B?5 sin??5 t
v_0=v(0)=A?5 cos??0 ?=1.5 ? A=1.5/?5=0.6708
? x(t)=0.6708 sin??5 t
مثال (3) علقت كتلة 10 kg في نابض حلزوني ثابت تناسبه k=120 N/m . بدأت الكتلة بالحركة من موضع الاتزان بسرعة ابتدائية مقدارها 1 m/sec? في الاتجاه الرأسي الى الاعلى وبقوة مؤثرة خارجية 20 sin?t . جد موضع الكتلة في أي لحظة اذا كان ثابت مقاومة الهواء a=70 N.sec/m .
الحل :
(d^2 x)/(dt^2 )+a/M dx/dt+k/M x=F(t)/M ? (d^2 x)/(dt^2 )+70/10 dx/dt+120/10 x=(20 sin?t)/10
(d^2 x)/(dt^2 )+7 dx/dt+12x=2 sin?t ?(*)
m^2+7m+12=0 ? (m+3)(m+4)=0 ? m=-3 ,-4
x_h=c_1 e^(-3t)+c_2 e^(-4t)
الآن : x_p=A sin?t+B cos?t
x_p^ =A cos?t-B sin?t and x_p^ =-A sin?t-B cos?t
نعوض في المعادلة (*)
-A sin?t-B cos?t+7A cos?t-7B sin?t+12A sin?t+12B cos?t=2 sin?t
(-A-7B+12A) sin?t+(-B+7A+12B) cos?t=2 sin?t
11A-7B=2 and 11B+7A=0 ? A= 11/85 , B=(-7)/85
? x_p=11/85 sin?t-7/85 cos?t
x=c_1 e^(-3t)+c_2 e^(-4t)+11/85 sin?t-7/85 cos?t
لدينا الشرط الابتدائي الاول x(0)=0 نحصل منه على
0=c_1+c_2-7/85 ?(1)
و الشرط الابتدائي الثاني v_0=1 m/sec?
v(t)=dx/dt=-3c_1 e^(-3t)-4c_2 e^(-4t)+11/85 cos?t+7/85 sin?t
v(0)=v_0=1=-3c_1-4c_2+11/85 ?(2)
وبضرب المعادلة 3 بـ (1) وجمعها مع (2) نحصل على
-c_2-10/85=1 ? c_2= -95/85 and c_1=102/85
? x=102/85 e^(-3t)-95/85 e^(-4t)+11/85 sin?t-7/85 cos?t
تمارين
1. علقت كتلة 10 kg في نابض حلزوني ثابت تناسبه k=140 N/m . بدأت الكتلة بالحركة من موضع الاتزان بسرعة ابتدائية مقدارها 1 m/sec? في الاتجاه الرأسي الى الاعلى وبقوة مؤثرة خارجية 5 sin?t . جد موضع الكتلة في أي لحظة اذا كان ثابت مقاومة الهواء a=90 N.sec/m .
2. علقت كتلة 10 kg في نابض حلزوني فاحدثت استطالة l=0.7 m في طوله الطبيعي . بدأت الكتلة بالحركة من موضع الاتزان بسرعة ابتدائية مقدارها 2 m/sec? في الاتجاه الرأسي الى الاعلى . جد موضع الكتلة في أي لحظة اذا كان ثابت مقاومة الهواء a=90 N.sec/m .
تنويه : k=Mg?l