مساحة الكرة تتناسب طردياً مع مربع نصف قطرها. أي أن إذا تضاعف نصف قطر الكرة، فإن مساحتها تتضاعف أربع مرات.
يمكن توضيح ذلك رياضياً كالتالي:
مساحة الكرة = 4πr²
حيث r هو نصف قطر الكرة.
إذا تضاعف نصف قطر الكرة، فإن r يصبح 2r.
وبناءً على ذلك، فإن مساحة الكرة الجديدة تصبح:
مساحة الكرة الجديدة = 4π(2r)²
= 4π(4r²)
= 16πr²
= 4 * (4πr²)
= 4 * مساحة الكرة الأصلية
وبذلك، فإن مساحة الكرة تتضاعف أربع مرات إذا تضاعف نصف قطرها.
مثال توضيحي:
إذا كانت مساحة كرة ما 100π، فإن نصف قطرها يساوي:
نصف قطر الكرة = √(100π/4π)
= √25
= 5
إذا تضاعف نصف قطر الكرة إلى 10، فإن مساحة الكرة الجديدة تصبح:
مساحة الكرة الجديدة = 4π(10²)
= 400π
= 4 * 100π
وبذلك، فإن مساحة الكرة الجديدة تساوي 400π، أي أنها تضاعفت أربع مرات عن مساحة الكرة الأصلية.
تطبيقات عملية:
يمكن تطبيق هذا المفهوم في العديد من التطبيقات العملية، مثل:
- حساب مساحة سطح الأرض إذا تضاعف نصف قطرها.
- حساب مساحة سطح كرة قدم إذا تضاعف حجمها.
- حساب مساحة سطح فقاعة هوائية إذا تضاعف حجمها.