Question

برهن ان اي داله قابلة للاشتقاق مستمره؟ اهلا بكم في موقع ساعدني البوابه الالكترونيه للحصول على المساعدة في ايجاد معلومات دقيقة قدر الإمكان من خلال إجابات وتعليقات الاخرين الذين يمتلكون الخبرة.

يسعدنا أن نقدم لكم إجابة علي سؤال برهن ان اي داله قابلة للاشتقاق مستمره؟

في الختام وبعد أن قدمنا إجابة سؤال برهن ان اي داله قابلة للاشتقاق مستمره؟ نتمنى لكم دوام التميز والنجاح، ونتمنى أن تستمروا في متابعة موقع ساعدني، وأن تستمروا في الحفاظ على طاعة الله والسلام.    

Answer 1

البرهنة:

لنفترض أن الدالة f(x) قابلة للاشتقاق عند x=c. هذا يعني أن هناك عددًا حقيقيًا k بحيث:

x→clim​x−cf(x)−f(c)​=k

بما أن هذه العبارة تساوي limx→c​f′(x)، فإننا نحصل على:

x→clim​f′(x)=k

من تعريف الاستمرارية، نعلم أن:

x→clim​f(x)=f(c)

إذا لم تكن الدالة f(x) مستمرة عند x=c، فهذا يعني أن هناك عددًا حقيقيًا ϵ>0 بحيث:

∣f(x)−f(c)∣>ϵ

لكل عدد حقيقي δ>0، يوجد عدد حقيقي x0​>0 بحيث:

∣x−c∣<δ⇒∣f(x)−f(c)∣>ϵ

لكن هذا يتناقض مع تعريف الاشتقاق، والذي ينص على أن:

∀ϵ>0,∃δ>0:∣x−c∣<δ⇒∣f′(x)−k∣<ϵ

إذن، يجب أن تكون الدالة f(x) مستمرة عند x=c.

الخلاصة:

كل دالة قابلة للاشتقاق مستمرة.

مثال:

الدالة f(x)=x2 قابلة للاشتقاق عند كل نقطة في مجالها، وبالتالي فهي مستمرة في كل نقطة في مجالها.

توضيح:

في المثال أعلاه، يمكننا حساب مشتق الدالة f(x)=x2 بسهولة للحصول على f′(x)=2x. ثم نرى أن:

x→clim​f′(x)=x→clim​2x=2c

وبالتالي، فإن الدالة f(x)=x2 مستمرة عند كل نقطة في مجالها.