كيف احل معادلة بثلاث مجاهيل؟

Question

سؤال كيف احل معادلة بثلاث مجاهيل؟

Answer 1

يمكن حل معادلة بثلاث مجاهيل باستخدام إحدى الطرق التالية:

• طريقة الحذف: يتم فيها حذف أحد المجاهيل من المعادلات، وذلك إما بالجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة بين المعادلات.

مثال:

x + y + z = 1
x - y - z = 2
2x + 2y + 2z = 4

لحذف المجهول z، نقوم بجمع المعادلتين الأولى والثانية:

2x + 2y = 3

ثم نقوم بطرح المعادلتين الثانية والثالثة:

3x + 3y = 1

وبالتالي، فإن الحل لهذه المعادلات هو:

x = 1/6
y = 1/6
z = 0

• طريقة كرامر: يتم فيها استخدام المحددات لحل المعادلات.

مثال:

x + y + z = 1
x - y - z = 2
2x + 2y + 2z = 4

أولاً، نقوم ببناء مصفوفة المعاملات:

| 1 1 1 |
| 1 -1 -1 |
| 2 2 2 |

ثم نقوم ببناء مصفوفات المصفوفة:

| 1 1 1 |
| 2 2 2 |

| 1 -1 -1 |
| 2 2 2 |

| 1 1 1 |
| 1 -1 -1 |

وبالتالي، فإن الحل لهذه المعادلات هو:

x = (2 - 4) / (1 + 4) = 1/3
y = (4 - 2) / (1 + 4) = 1/3
z = (1 - 2) / (1 + 4) = -1/3

• طريقة الجبر الخطي: يتم فيها استخدام المصفوفات وطرق الجبر الخطي لحل المعادلات.

مثال:

x + y + z = 1
x - y - z = 2
2x + 2y + 2z = 4

أولاً، نقوم بكتابة المعادلات على شكل مصفوفة:

| x | y | z | = | 1 | 2 | 4 |

ثم نقوم ببناء مصفوفة المعاملات:

| 1 1 1 |
| 1 -1 -1 |
| 2 2 2 |

ثم نقوم بضرب المصفوفة المعاملات في مصفوفة المتغيرات:

| 1 1 1 | x | y | z | = | 1 | 2 | 4 |

وبالتالي، فإن الحل لهذه المعادلات هو:

x = 1/3
y = 1/3
z = -1/3

اختيار الطريقة المناسبة:

يتم اختيار الطريقة المناسبة لحل معادلة بثلاث مجاهيل بناءً على سهولة الحل ودقة النتائج. فمثلاً، إذا كانت المعادلات سهلة الحل، فيمكن استخدام طريقة الحذف أو طريقة التعويض. أما إذا كانت المعادلات صعبة الحل، فيمكن استخدام طريقة كرامر أو طريقة الجبر الخطي.