افترض أن لدينا دالة f(x). إذا كان الحد f(x) عند x=a موجودًا، فإن هناك عددًا حقيقيًا c بحيث يكون |f(x)-c| أقل من أي رقم موجب ε، بغض النظر عن مدى صغر ε، بشرط أن يكون x قريبًا من a بما يكفي.
بشكل أكثر رسمية، يمكننا كتابة ذلك على النحو التالي:
lim_{x->a}f(x)=c
هذا يعني أنه إذا قمنا باختيار أي عدد موجب ε، يمكننا العثور على عدد موجب δ بحيث يكون |f(x)-c| أقل من ε لجميع x في الفترة (a-δ,a+δ).
على سبيل المثال، افترض أن f(x)=x^2. ثم lim_{x->0}f(x)=0. يمكننا إثبات ذلك من خلال ملاحظة أنه إذا كان x قريبًا من 0 بما يكفي، فإن |f(x)-0|=|x^2| سيكون أقل من أي رقم موجب ε.
لنفترض أن ε=1. إذا كان |x|<0.1، فإن |x^2|<0.01. وبالتالي، فإن |f(x)-0|<1 لجميع x في الفترة (-0.1,0.1).
يمكننا استخدام مفاهيم الحدود لدراسة سلوك الدوال عند قيم معينة. على سبيل المثال، إذا كانت f(x) لها حد عند x=a، فإن الدالة f(x) مستمرة عند x=a.
فيما يلي بعض الأمثلة الأخرى على حدود الدوال:
- lim_{x->-infinity}f(x)=-infinity
- lim_{x->infinity}f(x)=infinity
- lim_{x->a^-}f(x)=L
- lim_{x->a^+}f(x)=L
حيث L هو عدد حقيقي ثابت.
تستخدم الحدود في العديد من المجالات الرياضية، بما في ذلك التحليل، والجبر، والهندسة.