الجواب:
يمكن التعبير عن العددين المركبين على النحو التالي:
a + bi
b + ci
حيث:
- a و b هما الجزء الحقيقي من العدد المركب
- i هو الجذر التربيعي للعدد -1
وباستخدام هذه التعريفات، يمكن كتابة حاصل جمع الأعداد المركبين على النحو التالي:
(a + bi) + (b + ci) = (a + b) + (b + c)i
وبتطبيق قانون الجمع على الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من العدد المركب، يمكن كتابة المعادلة السابقة على النحو التالي:
(a + b) + (b + c)i = 6
وبجمع الطرفين، يمكن الحصول على:
a + b + b + c = 6
2a + 2b + c = 6
a + b + c/2 = 3
وبقسمة الطرفين على 2، يمكن الحصول على:
a + b + c = 6
وباستخدام نفس الطريقة، يمكن كتابة حاصل ضرب الأعداد المركبين على النحو التالي:
(a + bi)(b + ci) = ab + (a + b)ci + bi(b + c)i^2
وبتطبيق قانون الضرب على الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من العدد المركب، يمكن كتابة المعادلة السابقة على النحو التالي:
ab + (a + b)ci + bi(b + c)(-1)
ab - (a + b)ci - bi(b + c)
ab - (ab + 2aci - bci)
ab - ab - 2aci + bci
0 - 2aci + bci
-2aci + bci
(b - a)ci
وبتطبيق قانون الضرب على الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من العدد المركب، يمكن كتابة المعادلة السابقة على النحو التالي:
(b - a)^2
وباستخدام قانون القوى على الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من العدد المركب، يمكن كتابة المعادلة السابقة على النحو التالي:
b^2 - 2ab + a^2
وباستخدام العلاقة بين حاصل جمع الأعداد المركبين وحاصل ضربهما، يمكن كتابة المعادلة السابقة على النحو التالي:
(a + b)^2 - (a + b)
6^2 - 6
36 - 6
30
وبالتالي، فإن الفرق بين مربعي العددين المركبين يساوي 30.
التوضيح:
- تم استخدام قانون الجمع وقانون الضرب على الأعداد المركبة.
- تم استخدام العلاقة بين حاصل جمع الأعداد المركبين وحاصل ضربهما.
مثال:
إذا كان العددان المركبان هما 3 + 2i و 4 - i، فإن حاصل جمعهما يساوي 7 وحاصل ضربهما يساوي 27. وبالتالي، فإن الفرق بين مربعيهما يساوي 30، وهو نفس الجواب الذي تم الحصول عليه في السؤال السابق.