رياضيا
يمكن التعبير عن زمن التذبذب للبندول البسيط باستخدام المعادلة التالية:
T = 2π√(l / g)
حيث:
- T: زمن التذبذب
- l: طول البندول
- g: تسارع الجاذبية
أما البندول المركب فهو عبارة عن أي جسم صلب غير منتظم الشكل معلق بخيط أو محور. يمكن التعبير عن زمن التذبذب للبندول المركب باستخدام المعادلة التالية:
T = 2π√(I / mgh)
حيث:
- I: عزم القصور الذاتي للجسم الصلب
- m: كتلة الجسم الصلب
- g: تسارع الجاذبية
- h: الارتفاع من نقطة التعليق إلى مركز الثقل
إذا قمنا بمقارنة هاتين المعادلتين، نلاحظ أنهما متشابهتان إلى حد كبير. الفرق الوحيد هو أن المعادلة الثانية تحتوي على عامل إضافي يسمى عزم القصور الذاتي.
إذا كانت كتلة الجسم الصلب صغيرة جدًا، فإن عزم القصور الذاتي سيكون صغيرًا أيضًا. في هذه الحالة، يمكننا إهمال عامل عزم القصور الذاتي، مما يؤدي إلى المعادلة التالية:
T = 2π√(l / g)
وهذا هو نفس زمن التذبذب للبندول البسيط.
فيزيائيا
يمكن إثبات أن البندول البسيط هو حالة خاصة من البندول المركب من خلال النظر في قوى العمل على الجسم الصلب. في حالة البندول البسيط، تكون القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم الصلب هي قوة الجاذبية. في حالة البندول المركب، تكون هناك أيضًا قوى أخرى مؤثرة على الجسم الصلب، مثل قوى الاحتكاك والقوى الناشئة عن الانحناء.
إذا كانت قوى الاحتكاك والقوى الناشئة عن الانحناء صغيرة جدًا، فإن تأثيرها على حركة الجسم الصلب سيكون ضئيلًا. في هذه الحالة، يمكننا إهمال هذه القوى، مما يؤدي إلى المعادلة التالية:
F = mg
وهذا هو نفس التعبير عن قوة الجاذبية المؤثرة على البندول البسيط.
وبالتالي، فإن البندول البسيط هو حالة خاصة من البندول المركب، حيث تكون قوى الاحتكاك والقوى الناشئة عن الانحناء صغيرة جدًا بحيث يمكن إهمالها.