f(x)= 1/(x ^ 2 + 1)؟

Question

سؤال f(x)= 1/(x ^ 2 + 1)؟

Answer 1

دالة f(x) = 1/(x^2 + 1)
تحليل الدالة:
يمكننا تحليل الدالة f(x) = 1/(x^2 + 1) باستخدام التكامل.
خطوات الحل:
التكامل:
نبدأ بتكامل الدالة:
∫ f(x) dx = ∫ 1/(x^2 + 1) dx
يمكننا استخدام تقنية التكامل بالتجزئة لحل هذا التكامل. نختار u = x و dv = dx/(x^2 + 1).
بعد إجراء التكامل، نحصل على:
∫ f(x) dx = arctan(x) + C
حيث C هو ثابت التكامل.
إيجاد قيمة C:
لتحديد قيمة C، يمكننا استخدام شرط البدء.
نفترض أن f(0) = 1.
باستبدال x = 0 في معادلة الدالة، نحصل على:
f(0) = 1/(0^2 + 1) = 1
باستبدال f(0) = 1 في معادلة التكامل، نحصل على:
arctan(0) + C = 1
وبالتالي، C = 0.
النتيجة:
معادلة الدالة f(x) هي:
f(x) = arctan(x)
ملاحظة:
يمكن كتابة الدالة أيضًا باستخدام الدوال الزائدية كالتالي:
f(x) = 1/2 * (tanh(x) + 1)
الخصائص:
مجال التعريف: R (جميع الأعداد الحقيقية)
مدى القيم: (-1, 1)
الخطوط المقاربة:
x = 0: خط عمودي
y = ±1: خطان أفقيان
التناظر:
الدالة متناظرة حول محور y
التطبيقات:
تُستخدم الدالة f(x) في العديد من التطبيقات، بما في ذلك:
الإحصاء: حساب الاحتمالات في التوزيع الطبيعي
الهندسة: حساب المساحات والمحيطات
الفيزياء: حساب الجهد الكهربائي والمجال المغناطيسي
ملخص:
الدالة f(x) = 1/(x^2 + 1) هي دالة مهمة لها العديد من التطبيقات في مختلف المجالات. يمكن تحليلها باستخدام التكامل، ولها خصائص محددة مثل مجال التعريف ومدى القيم والخطوط المقاربة والتناظر.