1/ إثبات أن المثلث OIL قائم:
الطريقة الأولى:
ملاحظة: بما أن نصف قطر كل دائرة هو نصف قطر الدائرة التي تليها، فهذا يعني أن ∠O = ∠L = 90°.
باستخدام مجموع الزوايا الداخلية في المثلث:
∠OIL + ∠OLI + ∠IOL = 180°
نعوض عن ∠O = 90° و ∠L = 90°: ∠OIL + ∠OLI + 90° = 180° ∠OIL + ∠OLI = 90°
بالتالي، المثلث OIL قائم الزاوية عند O.
الطريقة الثانية:
باستخدام نظرية فيثاغورس:
في المثلث OLI، نطبق نظرية فيثاغورس: (OI)^2 = (OL)^2 - (LI)^2 (OI)^2 = (2 cm)^2 - (1 cm)^2 (OI)^2 = 3 cm^2 OI = √3 cm
في المثلث OIL، نطبق نظرية فيثاغورس: (OI)^2 = (OL)^2 - (LI)^2 (OI)^2 = (3 cm)^2 - (2 cm)^2 (OI)^2 = 5 cm^2 OI = √5 cm
نلاحظ أن (OI)^2 في كلا المثلثين متساوية، بينما (OL)^2 في المثلث OLI أكبر من (OL)^2 في المثلث OIL.
بالتالي، يجب أن يكون (LI)^2 في المثلث OLI أكبر من (LI)^2 في المثلث OIL.
وهذا يعني أن ∠OIL يجب أن يكون أكبر من ∠OLI.
وبما أن مجموع الزاويتين الداخليتين في أي مثلث قائم الزاوية هو 90°، فإن ∠OIL يجب أن يكون 90°.
2/ إيجاد قياس الزاويتين OIL و OLI بالتدوير إلى الوحدة:
1/ حساب طول الوتر OL:
OL = √(OI)^2 + (LI)^2
OL = √(3 cm)^2 + (2 cm)^2
OL = √13 cm
2/ حساب قياس الزاوية OIL:
sin(OIL) = LI/OL = 2/√13
OIL = arcsin(2/√13) ≈ 38.66°
3/ حساب قياس الزاوية OLI:
∠OLI = 90° - ∠OIL = 90° - 38.66° ≈ 51.34°
النتائج:
المثلث OIL قائم الزاوية عند O.
قياس الزاوية OIL ≈ 38.66°.
قياس الزاوية OLI ≈ 51.34°.