نشاط 2ص84 من كتاب الرياضيات للسنة الأولى ثانوي علمي يتناول الدالة جيب والدالة جيب تمام. ويتكون النشاط من ثلاثة أجزاء:
الجزء الأول: يتناول العلاقة بين الدالتين جيب وجيب تمام.
الجزء الثاني: يتناول تمثيل الدالتين جيب وجيب تمام بيانيا.
الجزء الثالث: يتناول خصائص الدالتين جيب وجيب تمام.
الحل:
الجزء الأول:
ترتبط الدالتان جيب وجيب تمام بعلاقة أساسية وهي:
y = sin x = √(1 - cos^2 x)
بمعنى أن قيمة الدالة جيب في نقطة ما تساوي الجذر التربيعي للفرق بين واحد وقيمة الدالة جيب تمام في نفس النقطة.
الجزء الثاني:
يمكن تمثيل الدالتين جيب وجيب تمام بيانيا كالتالي:
y = sin x
y = cos x
تمثل كل من الدالتين جيب وجيب تمام منحنى ذا شكل موجي. ويبدأ منحنى الدالة جيب عند نقطة الأصل وينتهي عند نقطة الأصل أيضا. بينما يبدأ منحنى الدالة جيب تمام عند نقطة (1، 0) وينتهي عند نقطة (-1، 0).
الجزء الثالث:
تمتلك الدالتان جيب وجيب تمام بعض الخصائص المشتركة، ومنها:
- كلتا الدالتين متزايدتان في الفترة [0، π].
- كلتا الدالتين متناقصتان في الفترة [π، 2π].
- كلتا الدالتين تأخذان نفس القيمة في نقطتي (0، 0) و(π, 0).
وفيما يلي بعض الخصائص الفريدة لكل دالة:
- الدالة جيب:
- لها قيمة قصوى عند نقطة (π/2, 1).
- لها قيمة دنيا عند نقطة (3π/2, -1).
- الدالة جيب تمام:
- لها قيمة قصوى عند نقطة (0, 1).
- لها قيمة دنيا عند نقطة (π, -1).
أمثلة على حل النشاط:
احسب قيمة الدالة جيب في النقطة (π/3).
الحل:
y = sin (π/3) = √(1 - cos^2 (π/3)) = √(1 - (1/2)^2) = √(3/4) = √(3)/2
ارسم منحنى الدالة جيب تمام في الفترة [-π, π].
الحل:
y = cos x
y = cos (-π) = -1
y = cos (-π/2) = 0
y = cos (-π/4) = √2/2
y = cos (0) = 1
y = cos (π/4) = √2/2
y = cos (π/2) = 0
y = cos (3π/4) = -√2/2
y = cos (π) = -1
y = cos (5π/4) = -√2/2
y = cos (3π/2) = 0
y = cos (7π/4) = √2/2
y = cos (2π) = 1
x = -π
y = -1
x = -π/2
y = 0
x = -π/4
y = √2/2
x = 0
y = 1
x = π/4
y = √2/2
x = π/2
y = 0
x = 3π/4
y = -√2/2
x = π
y = -1
x = 5π/4
y = -√2/2
x = 3π/2
y = 0
x = 7π/4
y = √2/2
x = 2π
y = 1
y
x
يمكن رسم منحنى الدالة جيب تمام بيانيا باستخدام برنامج المعادلات الخطية أو باستخدام برنامج الرسم البياني.
الخاتمة:
نشاط 2ص84 من كتاب الرياضيات للسنة الأولى ثانوي علمي يتناول الدالة